Question

数列{a_n}满足a₁=2，a_n+1=（λ-3）a_n+2ⁿ，（n=1，2，3…）．
（Ⅰ） 当a₂=-1时，求实数λ及a₃；
（Ⅱ）当λ=5时，设，求数列{b_n}的通项公式
（III）是否存在实数λ，使得数列{a_n}为等差数列？若存在，求出其通项公式，若不存在，说明理由．

Answer 1

（本小题8分）
解：（Ⅰ）∵a₁=2，a₂=-1，a₂=（λ-3）a₁+2，∴，…（1分）
故，所以．…（2分）
（Ⅱ）当λ=5时，a_n+1=2a_n+2ⁿ，两边同除以2ⁿ⁺¹，得：…（3分）
所以，是一个以1为首项，以为公差的等差数列，所以：
所以{b_n}的通项公式为． …（5分）
（III）∵a₁=2，a_n+1=（λ-3）a_n+2ⁿ∴a₂=（λ-3）a₁+2=2λ-4，a₃=（λ-3）a₂+4=2λ²-10λ+16
若数列{a_n}为等差数列，则a₁+a₃=2a₂∴λ²-7λ+13=0∵△=49-4×13＜0∴方程没有实根，…（7分）
故不存在实数λ，使得数列{a_n}为等差数列．…（8分）
分析：（Ⅰ） 通过a₁=2，a₂=-1时，利用a_n+1=（λ-3）a_n+2ⁿ，直接求实数λ及a₃；
（Ⅱ）当λ=5时，推出是一个以1为首项，以为公差的等差数列，求出a_n，然后求数列{b_n}的通项公式．
（III）数列{a_n}为等差数列，推出a₁+a₃=2a₂，得到λ²-7λ+13=0，方程有解则存在，求出其通项公式，否则不存在．
点评：本题是中档题，考查数列的项的求法，通项公式的求法，灵活应用等差数列的关系，考查转化思想，函数与方程的思想，常考题型．