Question

4．已知函数f（x）=alnx+$\frac{{x}^{2}}{2}$-（a+1）x，a∈R．当a=-1时，求函数f（x）的最小值．

Answer 1

分析 当a=-1时，f（x）=-lnx+$\frac{1}{2}$x²的定义域为（0，+∞），再求导，通过导数的正负确定函数的单调性，从而求最小值．

解答 解：当a=-1时，f（x）=-lnx+$\frac{1}{2}$x²的定义域为（0，+∞），
f′（x）=-$\frac{1}{x}$+x=$\frac{（x+1）（x-1）}{x}$，
故f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增；
故当x=1时，函数f（x）取得极小值，且为最小值f（1）=$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查运算能力，属于中档题．