分析 (Ⅰ)连结CO,推导出BC⊥AC,CD⊥AO,PD⊥CD,由此能证明CD⊥平面PAB.
(Ⅱ)以D为原点,DC为x轴,DB为y轴,DP为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出二面角C-PB-A的余弦值.
解答 证明:(Ⅰ)连结CO,由AD=$\frac{1}{3}DB$,得点D为AO的中点,
∵C是圆O上的一点,AB为圆O的直径,
∴BC⊥AC,
由BC=$\sqrt{3}AC$,知∠CAB=60°,
∴△ACO为正三角形,
∴CD⊥AO,
又PD⊥圆O所在的平面,CD在圆O所在平面内,
∴PD⊥CD,
∵PD∩AO,
∴CD⊥平面PAB.
解:(Ⅱ)以D为原点,DC为x轴,DB为y轴,DP为z轴,建立空间直角坐标系,
设AC=2,则D(0,0,0),C($\sqrt{3}$,0,0),B(0,3,0),P(0,0,3),
∴$\overrightarrow{PC}$=($\sqrt{3},0,-3$),$\overrightarrow{PB}$=(0,3,-3),
设向量$\overrightarrow{n}$=(x,y,z)为平面PBC的法向量,
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PC}=\sqrt{3}x-3z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}=3y-3z=0}\end{array}\right.$,取z=1,得$\overrightarrow{n}$=($\sqrt{3}$,1,1)为平面PBC的一个法向量,
又$\overrightarrow{DC}$=($\sqrt{3}$,0,0)为平面PAB的一个法向量,
∵cos<$\overrightarrow{DC},\overrightarrow{n}$>=$\frac{3}{\sqrt{5}•\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{15}}{5}$.
∴二面角C-PB-A的余弦值为$\frac{\sqrt{15}}{5}$.
点评 本题考查线面垂直的证明,考查二面角的余弦值的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意向量法的合理运用.
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | 当x=2时,y有最小值$\frac{4\sqrt{3}}{3}$ | B. | 当x=2时,有最大值$\frac{4\sqrt{3}}{3}$ | ||
C. | 当x=$\sqrt{2}$时,y有最小值2 | D. | 当x=$\sqrt{2}$时,y有最大值2 |
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喜爱运动 | 不喜爱运动 | 总计 | |
男 | 10 | 16 | |
女 | 6 | 14 | |
总计 | 30 |
P(K2≥k0) | 0.40 | 0.25 | 0.10 | 0.010 |
k0 | 0.708 | 1.323 | 2.706 | 6.635 |
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天数t(天) | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
繁殖个数y(千个) | 5 | 6 | 8 | 9 | 12 |
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年份 | 2010 | 2011 | 2012 | 2013 | 2014 |
时间代号x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
储蓄存款y (千亿元) | 5 | 6 | 7 | 8 | 10 |
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A. | $(0,3\sqrt{5})$ | B. | $[-\sqrt{5},\sqrt{5}]$ | C. | $(-3\sqrt{5},3\sqrt{5})$ | D. | $(0,\sqrt{5})$ |
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