Question

9．已知曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosα}\\{y=\sqrt{2}sinα}\end{array}\right.$（α为参数），曲线C₂的极坐极坐标方程为ρsin（θ一$\frac{π}{4}$）=1，曲线C₁与曲线C₂相交于点A，B．
（1）将曲线C₁与曲线C₂的方程化为普通方程；
（2）若F（$\sqrt{2}$，0），求△FAB的面积．

Answer 1

分析 （1）首先，根据所给参数方程和极坐标方程，直接化为普通方程即可；
（2）首先，联立方程组，求解点A和点B的坐标，然后，得到|AB|，再建立三角形的面积公式即可．

解答 解：（1）由曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosα}\\{y=\sqrt{2}sinα}\end{array}\right.$（α为参数），得
$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1，
∵曲线C₂的极坐极坐标方程为ρsin（θ一$\frac{π}{4}$）=1，
∴ρsinθcos$\frac{π}{4}$-ρcosθsin$\frac{π}{4}$=1，
∴y-x=$\sqrt{2}$，
∴x-y+$\sqrt{2}$=0，
（2）根据（1）联立方程组
$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+2{y}^{2}=4}\\{x-y+\sqrt{2}=0}\end{array}\right.$，
∴A（0，$\sqrt{2}$）．B（-$\frac{4\sqrt{2}}{3}$，-$\frac{\sqrt{2}}{3}$），
∴|AB|=$\sqrt{（\frac{4\sqrt{2}}{3}）^{2}+（-\frac{\sqrt{2}}{3}-\sqrt{2}）^{2}}$
=$\frac{8}{3}$，
F（$\sqrt{2}$，0）到直线的距离为$\frac{|\sqrt{2}-0+\sqrt{2}|}{\sqrt{2}}$=2，
∴△FAB的面积=$\frac{1}{2}$×$\frac{8}{3}$×2=$\frac{8}{3}$．

点评 本题重点考查了参数方程和直角坐标方程互化、极坐标方程和普通方程的互化等知识，考查了直线与椭圆的位置关系，三角形的面积公式等知识，属于中档题．