Question

已知动圆C经过点(0，m) (m>0)，且与直线y＝－m相切，圆C被x轴截得弦长的最小值为1，记该圆的圆心的轨迹为E.
（Ⅰ）求曲线E的方程；
（Ⅱ）是否存在曲线C与曲线E的一个公共点，使它们在该点处有相同的切线？若存在，求出切线方程；若不存在，说明理由.

Answer 1

（Ⅰ）x²＝2y；（Ⅱ）存在题设的公共点B，其坐标为(±2，4)，公切线方程为y＝2(x－2)＋4或y＝－2 (x＋2)＋4，即y＝±2x－4．

解析试题分析：（Ⅰ）根据定义法确定轨迹为抛物线，然后借助圆C被x轴截得弦长的最小值为1求解参数m的值；（Ⅱ）假设存在题设的公共点B(b， b²)．利用圆的切线性质，以及利用导数的几何意义求解抛物线的切线方程的斜率建立等量关系，求解b的值进行论证.
试题解析：（Ⅰ）依题意，曲线E是以(0，m)为焦点，以y＝－m为准线的抛物线．
曲线E的方程为x²＝4my．                                     2分
设动圆圆心为A(a，)，则圆C方程为(x－a)²＋(y－)²＝(＋m)²，
令y＝0，得(x－a)²＝＋m²．
当a＝0时，圆C被x轴截得弦长取得最小值2m，于是m＝，
故曲线E的方程为x²＝2y．                                        5分
（Ⅱ）假设存在题设的公共点B(b， b²)．
圆C方程为(x－a)²＋(y－a²)²＝(a²＋)²，
将点B坐标代入上式，并整理，得(b－a)²[1＋ (a＋b)²]＝ (a²＋1)²．① 7分
对y＝x²求导，得y¢＝x，则曲线E在点B处的切线斜率为b．
又直线AB的斜率k＝＝ (a＋b)．
由圆切线的性质，有 (a＋b)b＝－1．                        ②  8分
由①和②得b²(b²－8)＝0．
显然b≠0，则b＝±2．                                        9分
所以存在题设的公共点B，其坐标为(±2，4)，公切线方程为
y＝2 (x－2)＋4或y＝－2 (x＋2)＋4，即y＝±2x－4．     12分
考点：1.轨迹方程；2.圆的的切线和抛物线的切线.