Question

已知曲线C的极坐标方程是ρ²（1+3sin²θ）=4，直线l的参数方程是

x=6- 2 5 5 t y= 5 5 t

（t为参数）．
（1）求曲线C和直线l的直角坐标方程；
（2）设点M为曲线C上任一点，求M到直线l的距离的最大值．

Answer 1

分析：（1）由ρ²（1+3sin²θ）=4，知ρ²（cos²θ+4sin²θ）=4，所以x²+4y²=4，由此能求出曲线C的直角坐标方程．由l的参数方程是

x=6- 2 5 5 t y= 5 5 t

（t为参数），知x=6-

2 5

5

•

5

y，由此能求出直线l的直角坐标方程．
（2）设M（2cosθ，sinθ），则M到直线l的距离d=

|2cosθ+2sinθ-6|

5

=

|2sin(θ+ π 4 )-6|

5

，由此能求出M到直线l的距离的最大值．

解答：解：（1）∵ρ²（1+3sin²θ）=4，
∴ρ²（cos²θ+4sin²θ）=4，
∴x²+4y²=4，
∴C：

x2

4

+y2=1．
∵l的参数方程是

x=6- 2 5 5 t y= 5 5 t

（t为参数），
∴x=6-

2 5

5

•

5

y，
∴l：x+2y-6=0．
（2）设M（2cosθ，sinθ），
则M到直线l的距离d=

|2cosθ+2sinθ-6|

5

=

|2sin(θ+ π 4 )-6|

5

，
∴当sin(θ+

π

4

)=-1，
即θ=

5π

4

，M(-

2

，-

2

2

)时，
dmax=

6+2 2

5

=

6 5 +2 10

5

．

点评：本题考查曲线C和直线l的直角坐标方程的求法和求M到直线l的距离的最大值．解题时要认真审题，注意参数方程和直角坐标方程的相互转化，合理地运用点到直线的距离公式进行解题．