Question

2．若F₁，F₂是椭圆$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1的两个焦点，过F₁的直线交椭圆于A，B两点．
（1）求△ABF₂的周长；
（2）求△ABF₂的面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）由椭圆的方程可得a=5，再由椭圆的定义，可得△ABF₂的周长为4a，计算即可得到；
（2）由椭圆方程可得左、右两个焦点分别为F₁（-4，0），F₂（4，0）．设直线l的方程为my=x+4．与椭圆方程联立消去x可得根与系数的关系，利用△ABF₂面积S=$\frac{1}{2}$|F₁F₂||y₁-y₂|，可得关于m的表达式，再利用基本不等式即可得出．

解答 解：（1）由椭圆$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1，可得a=5，
由椭圆的定义可得|AF₁|+|AF₂|=|BF₁|+|BF₂|=2a，
即有△ABF₂的周长为|AB|+|AF₂|+|BF₂|=4a=20；
（2）由椭圆方程可得a²=25，b²=9，c=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$=4，
左、右两个焦点分别为F₁（-4，0），F₂（4，0）．
设直线l的方程为my=x+4，代入椭圆方程可得，
化为（25+9m²）y²-72my-81=0．
∴y₁+y₂=$\frac{72m}{25+9{m}^{2}}$，y₁y₂=-$\frac{81}{25+9{m}^{2}}$．
∴|y₁-y₂|=$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\sqrt{（\frac{72m}{25+9{m}^{2}}）^{2}+\frac{324}{25+9{m}^{2}}}$=90$\sqrt{\frac{1+{m}^{2}}{（25+9{m}^{2}）^{2}}}$．
∴△ABF₂面积S=$\frac{1}{2}$|F₁F₂||y₁-y₂|=$\frac{1}{2}$×8×90$\sqrt{\frac{1+{m}^{2}}{（25+9{m}^{2}）^{2}}}$
=360$\sqrt{\frac{1+{m}^{2}}{（25+9{m}^{2}）^{2}}}$，
令t=1+m²（t≥1），则S=360$\sqrt{\frac{t}{（16+9t）^{2}}}$=360$\sqrt{\frac{1}{81t+\frac{256}{t}+288}}$，
由81t+$\frac{256}{t}$≥2$\sqrt{81t•\frac{256}{t}}$=288，当且仅当t=$\frac{16}{9}$取得等号．
△ABF₂面积S取得最大值360×$\sqrt{\frac{1}{576}}$=15．
即当m=±$\frac{\sqrt{7}}{3}$时，△ABF₂面积S取得最大值15．

点评 本题考查了焦点弦与三角形的周长与面积最值问题，注意运用椭圆的定义和转化为方程联立可得根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．