Question

17．如图，已知圆O：x²+y²=4和圆M：（x-3）²+（y-2）²=1．若直线l被圆O和圆M截得的弦长的比为2，求直线l的斜率的取值范围．

Answer 1

分析 由题意，圆心到直线的距离比为2，求出b=2-$\frac{3}{2}$k，利用$\frac{|b|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$＜2，即可求直线l的斜率的取值范围．

解答 解：由题意，设圆心到直线的距离分别为m，n，则$\frac{\sqrt{4-{m}^{2}}}{\sqrt{1-{n}^{2}}}$=2，
∴$\frac{m}{n}$=2，
∴圆心到直线的距离比为2
设直线的方程为y=kx+b，即kx-y+b=0，
∴$\frac{|b|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=2×$\frac{|3k-2+b|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，
∴|b|=|3k-2+b|，
∴b=2-$\frac{3}{2}$k
∵$\frac{|b|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$＜2，
∴|b|＜2$\sqrt{{k}^{2}+1}$，
∴|2-$\frac{3}{2}$k|＜2$\sqrt{{k}^{2}+1}$，
∴k＜-$\frac{24}{7}$或k＞0．

点评 本题考查求直线l的斜率的取值范围，考查点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，比较基础．