Question

已知二次函数y=f(x)在x=2处取得极值．

(Ⅰ)若f(x)在[-4,4]上的最大值为18，最小值为-18，求f(x)的解析式；

(Ⅱ)若曲线y=f(x)在A[1,f(1)]、D[3，f(3)]处的两条切线l₁、l₂，交于点C，且f′(1)=-2，求△ABC的面积.

Answer 1

解：(Ⅰ)依题意，设f(x)=a(x-2)²+b(a≠0)

当a＞0时，则f(-4)=18，f(-2)=-18，

∴解得a=1,b=-18

当a＜0时，则f(2)=18，f(-4)=-18，

∴解得a=-1，b=18

∴所求解析式为

f(x)=x²=4x-14或f(x)=-x²+4x+14

 (Ⅱ)f(x)=a(x-2)²+b=ax²-4ax+4a+b

f′(x)=2ax-4a

f′(1)=-2，∴2a-4a=-2，∴a=1

∴f(1)=1+b，f(3)=1+b即A(1，1+b)，B(3，1+b)

f′(3)=6a-4a=2

设l₁、l₂的方程为：y-(1+b)=-2(x-1)

y-(1+b)=2(x-3)

上式联立解得y=b-1

即C点的纵坐标为b-1

∴△ABC的AB边上的高h=|(b-1)-(1+b)|=2

又|AB|=2

∴△ABC的面积S=·|AB|·h=2