Question

在一条直线型的工艺流水线上有3个工作台，将工艺流水线用如图2-19所示的数轴表示，各工作台的坐标分别为x₁，x₂，x₃，每个工作台上有若干名工人．现要在x₁与x₃之间修建一个零件供应站，使得各工作台上的所有工人到供应站的距离之和最短．
（1）若每个工作台上只有一名工人，试确定供应站的位置；
（2）设从左到右工作台上的工人人数依次为2，1，3，试确定供应站的位置，并求所有工人到供应站的距离之和的最小值．

Answer 1

分析：（1）设供应站坐标为x，各工作台上的所有工人到供应站的距离之和为d（x），由题意有d（x）=|x-x₁|+|x-x₂|+|x-x₃|，然后对x的范围进行讨论分析，知当x=x₂时，所有工人到供应站的距离之和最短．
（2）由题设知，各工作台上的所有工人到供应站的距离之和为d（x）=2|x-x₁|+|x-x₂|+3|x-x₃|，类似（1）的讨论，即可得到结论．

解答：解：设供应站坐标为x，各工作台上的所有工人到供应站的距离之和为d（x）．
（1）d（x）=|x-x₁|+|x-x₂|+|x-x₃|．
当x＜x₁时，d（x）=x₁+x₂+x₃-3x在区间（-∞，x₁）上是减函数；
当x＞x₃时，d（x）=3x-（x₁+x₂+x₃）在区间（x₃，+∞）上是增函数；
所以，x必须位于区间[x₁，x₃]内，此时d（x）=x₃-x₁+|x-x₂|（*），
当且仅当x=x₂时，（*）式取最小值，且d（x₂）=x₃-x₁，即供应站的位置为x=x₂；
（2）由题设知，各工作台上的所有工人到供应站的距离之和为d（x）=2|x-x₁|+|x-x₂|+3|x-x₃|
当x＜x₁时，d（x）=2x₁+x₂+3x₃-6x在区间（-∞，x₁）上是减函数；

当x₁＜x＜x₂时，d（x）=-2x₁+x₂+3x₃-2x在区间（x₁，x₂）上是减函数；

当x₂＜x＜x₃时，d（x）=-2x₁-x₂+3x₃在区间（x₂，x₃）上是常数函数
当x＞x₃时，d（x）=6x-（2x₁+x₂+3x₃）在区间（x₃，+∞）上是增函数；
所以，x必须位于区间[x₂，x₃]内，此时d（x）取最小值．

点评：本题主要考查将实际问题转化为数学问题的能力，以及综合运用函数知识解决问题的能力，解题的关键是分类去绝对值号．