解:(1)∵a
2=6且
=n,
∴
=1,
=2,
=3,..1′
解得a
1=1,a
3=15,a
4=28,…3′
(2)由此猜想a
n=n(2n-1)…4′
下面用数学归纳法加以证明:
①当n=1时,a
1=1×(2×1-1)=1,结论正确;
当n=2时,a
2=2×(2×2-1)=6,结论正确;…5′
②假设n=k(k≥2)时结论正确,即a
k=k(2k-1),
则当n=k+1时,
∵
=k,
∴(k-1)a
k+1=(k+1)a
k-(k+1)
=(k+1)k(2k-1)-(k+1)
=(k+1)(2k
2-k-1)
=(k+1)(2k+1)(k-1),
∵k-1≠0,
∴a
k+1=(k+1)(2k+1)=(k+1)[2(k+1)-1],
即当n=k+1时,结论正确…7′
由①②可知,数列{a
n}的通项公式为:a
n=n(2n-1)…8′
(3)∵
=
=
[
-
]…10′
∴
(
+
+…+
)=
(1-
)=
…12′
分析:(1)由a
2=6,
=n,可求得a
1=1,a
3=15,a
4=28.
(2)由(1)可猜想a
n=n(2n-1),然后用数学归纳法证明即可;
(3))先用裂项法求得
=
[
-
],从而得到
+
+…+
=
(1-
),再取极限即可得答案.
点评:本题考查数学归纳法,归纳猜想出a
n=n(2n-1)是关键,着重考查数学归纳法的证明与裂项法求和,考查运算能力,属于中档题.