Question

【题目】设椭圆C： 的一个顶点与抛物线的焦点重合， 分别是椭圆的左、右焦点，且离心率，过椭圆右焦点的直线l与椭圆C交于两点．

(1)求椭圆C的方程；

(2)若，求直线l的方程；

(3)若是椭圆C经过原点O的弦， ，求证： 为定值．

Answer 1

【答案】(1) ；(2) y＝ (x－1)或y＝－ (x－1)；(3)见解析．

【解析】试题分析：（1）由题意，椭圆的标准方程为＋＝1；（2）设直线l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，·＝x1x2＋y1y2＝－2，利用韦达定理，解得答案；（3）|MN|＝|x1－x2|，|AB|＝|x3－x4|，代入韦达定理计算，得到答案。

试题解析：

(1)椭圆的顶点为(0，)，即b＝，e＝＝，∴a＝2，∴椭圆的标准方程为＋＝1.

(2)由题可知，直线l与椭圆必相交．

①当直线斜率不存在时，经检验不合题意．

②当斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，

且M(x1，y1)，N(x2，y2)．

由得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，x1＋x2＝，x1x2＝，

·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋k2[x1x2－(x1＋x2)＋1]

＝＋k2

＝＝－2，解得k＝±，

故直线l的方程为y＝ (x－1)或y＝－ (x－1)．

(3)证明：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，A(x3，y3)，B(x4，y4)，

由(2)可得|MN|＝|x1－x2|

＝

＝

＝，

由消去y并整理得x2＝，

|AB|＝|x3－x4|＝4，

∴＝＝4，为定值．