Question

10．（文）数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=1，对任意n∈N₊，有a_n+1=$\frac{2}{3}$S_n，则S_n=$（\frac{5}{3}）^{n-1}$．

Answer 1

分析 由题意求得S₁，并可得到数列{S_n}构成以1为首项，以$\frac{5}{3}$为公比的等比数列，再由等比数列的通项公式求得S_n．

解答 解：∵a₁=1，∴S₁=a₁=1，
由a_n+1=$\frac{2}{3}$S_n，得${S}_{n+1}-{S}_{n}=\frac{2}{3}{S}_{n}$，即${S}_{n+1}=\frac{5}{3}{S}_{n}$，
∴$\frac{{S}_{n+1}}{{S}_{n}}=\frac{5}{3}$，
则数列{S_n}构成以1为首项，以$\frac{5}{3}$为公比的等比数列，
∴${S}_{n}=1×（\frac{5}{3}）^{n-1}$=$（\frac{5}{3}）^{n-1}$．
故答案为：$（\frac{5}{3}）^{n-1}$．

点评 本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，考查了等比数列通项公式的求法，是中档题．