Question

已知平面上三个向量

a

 ，

b

 ，

c

，其中

a

=(1， 2)，
（1）若|

c

|=2

5

，且

a

∥

c

，求

c

的坐标；
（2）若|

b

|=

5

2

，且(

a

+2

b

)⊥(2

a

-

b

)，求

a

与

b

夹角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）设出

c

的坐标，利用它与

a

平行以及它的模等于2

5

，利用待定系数法求出

c

的坐标．
（2）由

a

+2

b

与2

a

-

b

垂直，数量积等于0，求出夹角θ的余弦值的大小．

解答：解：（1）设

c

=(x，y)，由条件有

x2+y2=20 y=2x

，
解得：

x=2 y=4

，或

x=-2 y=-4

，
所以：

c

=(2， 4)，或

c

=(-2，-4)．
（2）设

a

， 

b

的夹角为θ，由(

a

+2

b

)⊥(2

a

-

b

)，
知(

a

+2

b

)•(2

a

-

b

)=0，
即：2

a

2+3

a

•

b

-2

b

2=0，
由于

a

=(1， 2)⇒|

a

| =

1+4

=

5

，
∴

a

 2=5，又|

b

|=

5

2

，
所以：

a

•

b

=

2

3

(

b

2-

a

2)=

5

6

，
又cosθ=

a • b

| a || b |

=

5 6

5 • 5 2

=

5

15

．

点评：本题考查平面上两个向量平行、垂直的条件，以及利用两个向量的数量积求两个向量的夹角．属于基础题．