Question

3．如果一元二次方程ax²+2x+1=0（a≠0）至少有一个负的实数根，试确定这个结论成立的充要条件．

Answer 1

分析 由题意可知a≠0，然后分方程有一个负实根和两个负实根分类求得实数a的取值范围．

解答 解：由题意得：a≠0，一元二次方程ax²+2x+1=0有实数根的充要条件是△=4-4a≥0，即a≤1，
设方程ax²+2x+1=0（a≠0）的根是x₁，x₂，
由${x_1}+{x_2}=-\frac{2}{a}，{x_1}{x_2}=\frac{1}{a}$，
可知，方程ax²+2x+1=0（a≠0）有一个负的实数根$?\left\{\begin{array}{l}a≤1\\ \frac{1}{a}＜0\end{array}\right.$，即a＜0；
方程ax²+2x+1=0（a≠0）有两个负的实数根$?\left\{\begin{array}{l}a≤1\\-\frac{2}{a}＜0\\ \frac{1}{a}＞0\end{array}\right.$，即0＜a≤1．
综上所述，一元二次方程ax²+2x+1=0至少有一个负实数根的充要条件是a＜0或0＜a≤1．

点评 本题考查充分条件、必要条件及充要条件的判定方法，考查了一元二次方程根的分布问题，体现了数学转化思想方法，是中档题．