Question

19．已知动点P到点A（-2，0）与点B（2，0）的斜率之积为$-\frac{1}{4}$，点P的轨迹为曲线C．
（Ⅰ）求曲线C的轨迹方程；
（Ⅱ）过点D（1，0）作直线l与曲线C交于P，Q两点，连接PB，QB分别与直线x=3交于M，N两点．若△BPQ和△BMN的面积相等，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设P点的坐标为（x，y），求出直线的斜率，利用斜率乘积，化简求解即可．
（Ⅱ）当直线l的斜率不存在时，直线的方程为x=1，求出两个三角形的面积，判断相等，当直线l的斜率存在时，
法1：设直线的方程为y=k（x-1），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．联立直线与椭圆方程，求出M，N坐标，通过△BPQ和△BMN的面积不相等，推出结果．
法2：设直线的方程为y=k（x-1），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．联立直线与椭圆方程，通过S_△BPQ=S_△BMN，得到$\frac{|BP|}{|BM|}=\frac{|BN|}{|BQ|}$．推出-1=0．说明△BPQ和△BMN的面积不相等．

解答 （本题满分9分）
解：（Ⅰ）设P点的坐标为（x，y），
则${k_{PA}}=\frac{y}{x+2}（x≠-2）$，${k_{PB}}=\frac{y}{x-2}（x≠2）$．
∵${k_{PA}}•{k_{PB}}=-\frac{1}{4}$，∴$\frac{y^2}{{{x^2}-4}}=-\frac{1}{4}（x≠±2）$．
化简得曲线C的轨迹方程为$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1（x≠±2）$．   …（4分）
（Ⅱ）当直线l的斜率不存在时，直线的方程为x=1，则$P（1，\frac{{\sqrt{3}}}{2}），Q（1，-\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$．
直线PB的方程为$y=-\frac{{\sqrt{3}}}{2}（x-2）$，解得$M（3，-\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$．
直线QB的方程为$y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}（x-2）$，解得$N（3，\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$．
则${S_{△BPQ}}=\frac{1}{2}×\sqrt{3}×1=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，${S_{△BMN}}=\frac{1}{2}×\sqrt{3}×1=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
此时△BPQ和△BMN的面积相等  …（6分）
当直线l的斜率存在时，
法1：设直线的方程为y=k（x-1），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．
由$\left\{{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{{x^2}+4{y^2}=4}\end{array}}\right.$得（1+4k²）x²-8k²x+4k²-4=0.${x_1}+{x_2}=\frac{{8{k^2}}}{{1+4{k^2}}}$，${x_1}{x_2}=\frac{{4{k^2}-4}}{{1+4{k^2}}}$．
直线PB的方程为$y=\frac{y_1}{{{x_1}-2}}（x-2）$，求得$M（3，\frac{y_1}{{{x_1}-2}}）$．
直线QB的方程为$y=\frac{y_2}{{{x_2}-2}}（x-2）$，求得$N（3，\frac{y_2}{{{x_2}-2}}）$．${S_{△BPQ}}=\frac{1}{2}|PQ|h=\frac{1}{2}\sqrt{1+{k^2}}|{x_1}-{x_2}|×\frac{|k|}{{\sqrt{1+{k^2}}}}=\frac{1}{2}|k||{x_1}-{x_2}|$，${S_{△BMN}}=\frac{1}{2}|MN|h=\frac{1}{2}|{y_N}-{y_M}|=\frac{1}{2}|\frac{{k（{x_1}-{x_2}）}}{{（{x_1}-2）（{x_2}-2）}}|$．
若S_△BPQ=S_△BMN，则（2-x₁）（2-x₂）=1，即x₁x₂-2（x₁+x₂）+3=0．
∴$\frac{{4{k^2}-4}}{{1+4{k^2}}}-\frac{{16{k^2}}}{{1+4{k^2}}}+3=0$，化简得-1=0．
此式不成立．所以△BPQ和△BMN的面积不相等
综上，直线l的方程为x=1．                     …（9分）
法2：设直线的方程为y=k（x-1），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．
由$\left\{{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{{x^2}+4{y^2}=4}\end{array}}\right.$得（1+4k²）x²-8k²x+4k²-4=0.${x_1}+{x_2}=\frac{{8{k^2}}}{{1+4{k^2}}}$，${x_1}{x_2}=\frac{{4{k^2}-4}}{{1+4{k^2}}}$．${S_{△BPQ}}=\frac{1}{2}|BQ||BP|sin∠PBQ$，${S_{△BMN}}=\frac{1}{2}|BM||BN|sin∠MBN$，
因为∠PBQ=∠MBN，S_△BPQ=S_△BMN，
所以|BQ||BP|=|BM||BN|，即$\frac{|BP|}{|BM|}=\frac{|BN|}{|BQ|}$．
则有$\frac{{2-{x_1}}}{3-2}=\frac{3-2}{{2-{x_2}}}$，化简得x₁x₂-2（x₁+x₂）+3=0．
∴$\frac{{4{k^2}-4}}{{1+4{k^2}}}-\frac{{16{k^2}}}{{1+4{k^2}}}+3=0$，化简得-1=0．
此式不成立．所以△BPQ和△BMN的面积不相等
综上，直线l的方程为x=1．                     …（9分）

点评 本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，轨迹方程的求法，考查转化思想以及计算能力．