【题目】已知四棱锥,底面为菱形, ,H为上的点,过的平面分别交于点,且平面.
(1)证明: ;
(2)当为的中点, ,与平面所成的角为,求二面角的余弦值.
【答案】(1)见解析; (2).
【解析】
(1)连结交于点,连结.由题意可证得平面,则.由线面平行的性质定理可得,据此即可证得题中的结论;
(2)结合几何体的空间结构特征建立空间直角坐标系,求得半平面的法向量,然后求解二面角的余弦值即可.
(1)证明:连结交于点,连结.因为为菱形,所以,且为、的中点,因为,所以,
因为且平面,所以平面,
因为平面,所以.
因为平面, 平面,且平面平面,
所以,所以.
(2)由(1)知且,因为,且为的中点,
所以,所以平面,所以与平面所成的角为,
所以,所以,因为,所以.
分别以, , 为轴,建立如图所示空间直角坐标系,设,则
,
所以.
记平面的法向量为,则,
令,则,所以,
记平面的法向量为,则,
令,则,所以,
记二面角的大小为,则.
所以二面角的余弦值为 .
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【题目】如图,在梯形中,,,,四边形是直角梯形,,,,平面平面.
(1)求证:平面;
(2)在线段上是否存在一点,使得平面与平面所成的锐二面角的余弦值为,若存在,求出点的位置;若不存在,说明理由.
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【题目】图一是美丽的“勾股树”,它是一个直角三角形分别以它的每一边向外作正方形而得到.图二是第1代“勾股树”,重复图二的作法,得到图三为第2代“勾股树”,以此类推,已知最大的正方形面积为1,则第代“勾股树”所有正方形的个数与面积的和分别为( )
A. B. C. D.
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【题目】已知圆,点坐标为.
(1)如图1,斜率存在且过点的直线与圆交于两点.①若,求直线的斜率;②若,求直线的斜率.
(2)如图2,为圆上两个动点,且满足,为中点,求的最小值.
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【题目】椭圆: 的离心率为,过其右焦点与长轴垂直的直线与椭圆在第一象限相交于点, .
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设椭圆的左顶点为,右顶点为,点是椭圆上的动点,且点与点, 不重合,直线与直线相交于点,直线与直线相交于点,求证:以线段为直径的圆恒过定点.
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【题目】袋子中装有除颜色外其他均相同的编号为a,b的两个黑球和编号为c,d,e的三个红球,从中任意摸出两个球.
(1)求恰好摸出1个黑球和1个红球的概率:
(2)求至少摸出1个黑球的概率.
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【题目】己知椭圆C:的左右焦点分别为F1,F2,直线l:y=kx+m与椭圆C交于A,B两点.O为坐标原点.
(1)若直线l过点F1,且|AB|=,求k的值;
(2)若以AB为直径的圆过原点O,试探究点O到直线AB的距离是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由。
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