Question

16．如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁（侧棱垂直于底面，且底面是正三角形）中，AC=CC₁=6，M是棱CC₁上一点．
（1）若M、N分别是CC₁、AB的中点，求证：CN∥平面AB₁M；
（2）求证：不论M在何位置，三棱锥A₁-AMB₁的体积都为定值，并求出该定值．

Answer 1

分析 （1）取AB₁中点P，连结MP，NP，则四边形MCNP是平行四边形，得出CN∥MP，从而CN∥平面AB₁M．
（2）V${\;}_{棱锥{A}_{1}-AM{B}_{1}}$=V${\;}_{棱锥M-A{A}_{1}{B}_{1}}$=$\frac{1}{3}$S${\;}_{△A{A}_{1}{B}_{1}}$•CN．只需证明CN⊥平面AB₁BA₁即可．

解答 证明：（1）取AB₁中点P，连结MP，NP，
∵P是AB₁的中点，N是AB的中点，∴PN∥BB₁，PN=$\frac{1}{2}B{B}_{1}$，
∵M是CC₁的中点，∴CM∥BB₁，CM=$\frac{1}{2}$BB₁，
∴CM∥PN，CM=PN，∴四边形MCNP是平行四边形，
∴CN∥MP，∵MP?平面AB₁M，CN?AB₁M，
∴CN∥平面AB₁M．
（2）∵△ABC是等边三角形，∴CN⊥AB，
∵BB₁⊥平面ABC，PN∥BB₁，
∴PN⊥平面ABC，∵CN?平面ABC，
∴PN⊥CN，又∵AB?平面ABB₁A₁，PN?平面ABB₁A₁，AB∩PN=N，
∴CN⊥平面AB₁BA₁，
∵CN=$\sqrt{A{C}^{2}-A{N}^{2}}$=3$\sqrt{3}$．
∴V${\;}_{棱锥{A}_{1}-AM{B}_{1}}$=V${\;}_{棱锥M-A{A}_{1}{B}_{1}}$=$\frac{1}{3}$S${\;}_{△A{A}_{1}{B}_{1}}$•CN=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×6×6×3\sqrt{3}$=18$\sqrt{3}$．
∴不论M在何位置，三棱锥A₁-AMB₁的体积都为定值18$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了线面平行的判定，棱锥的体积计算，是中档题．