Question

二次函数y=x²-2x+2与y=-x²+ax+b（a＞0，b＞0）的图象在它们的一个交点处的切线相互垂直，则

1

a

+

4

b

的最小值是（　　）

• A、

  18

  5

• B、

  16

  5

• C、4
• D、

  24

  5

Answer 1

分析：先对两个二次函数进行求导，然后设交点坐标，根据它们在一个交点处的切线相互垂直可得到 a+b=

5

2

，再由

1

a

+

4

b

=（

1

a

+

4

b

）×

a+b

5 2

运用基本不等式可求得最小值．

解答：解：∵y=x²-2x+2∴y'=2x-2
∵y=-x²+ax+b的导函数为y'=-2x+a
设交点为（x₀，y₀），则 （2x₀-2）（-2x₀+a）=-1，2x₀²-（2+a）x₀+2-b=0
4x₀²-（2a+4）x₀+2a-1=0，4x₀²-（4+2a）x₀+4-2b=0 
   2a-1-4+2b=0，a+b=

5

2

    
 

1

a

+

4

b

=（

1

a

+

4

b

）×

a+b

5 2

=[1+4+

b

a

+4

a

b

]×

2

5

≥

2

5

×（5+2

b a × 4a b

）=

18

5

当且仅当

b

a

=4

a

b

时等号成立．
故选A．

点评：本题主要考查基本不等式的应用和导数的几何意义，考查基础知识的综合应用和灵活能力．基本不等式在解决最值时用途很大，一定要注意用基本不等式的条件“一正、二定、三相等”．