Question

如图，已知椭圆过点，离心率为，左、右焦点分别为、．点为直线上且不在轴上的任意一点，直线和与椭圆的交点分别为、和、，为坐标原点．设直线、的斜率分别为、．

（i）证明：；
（ii）问直线上是否存在点，使得直线、、、的斜率、、、满足？若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）根据椭圆的方程以及斜率公式来得到求解。
（2）点的坐标为或  

试题分析：（i）.椭圆方程为，、 设
则，，      2分
（ii）记A、B、C、D坐标分别为、、、
设直线：    ：
联立可得              4分

，代入，可得
                            6分
同理，联立和椭圆方程，可得             7分
由及（由（i）得）可解得，或，所以直线方程为或，
所以点的坐标为或                      10分
点评：主要是考查了直线与椭圆的位置关系，以及运用韦达定理求解斜率和，进而得到直线的方程，得到点P的坐标，属于中档题。