Question

已知函数f(x)=2cos2(

π

4

-x)+2

3

sin2x-a(a∈R，a为常数)．
（Ⅰ）求函数的最小正周期；
（Ⅱ）求函数的单调递增区间；
（III）若函数在区间[

π

4

，

π

2

]上的最小值为

3

，求实数a的值．

Answer 1

分析：（1）化简函数f（x）的解析式为2sin(2x-

π

3

)+1-a+

3

，由此求得函数周期．
（2）令 2kπ-

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求出x的范围，即得函数的单调递增区间．
（3）由x得范围求得2x-

π

3

∈[

π

6

，

2π

3

]，可得当2x-

π

3

=

π

6

，函数取得最小值ymin=2+

3

-a=

3

，由此求得 a 的值．

解答：（1）∵f(x)=2cos2(

π

4

-x)+2

3

sin2x-a=1+cos（

π

2

-2x）+2

3

 

1-cos2x

2

-a
=sin2x-

3

cos2x+1+

3

-a=2sin(2x-

π

3

)+1-a+

3

，故周期为 T=π．
（2）令 2kπ-

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈z，解得 kπ-

π

12

≤x≤kπ+

5π

12

，k∈z，
故增区间为 [kπ-

π

12

，kπ+

5

12

π] ，k∈Z．
（3）∵x∈[

π

4

，

π

2

]，∴2x-

π

3

∈[

π

6

，

2π

3

]，
所以，当2x-

π

3

=

π

6

，即 x=

π

4

时，ymin=2+

3

-a=

3

，a=2．

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换，三角函数的周期性及其求法，正弦函数的单调区间，属于中档题．