Question

如图，已知PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PD=DC=BC；
（Ⅰ）求异面直线PB与AD所成角的余弦值； 
（Ⅱ）若AD=

1

2

BC，E为PC的中点，求证：DE∥平面PAB．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,异面直线及其所成的角

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）首先利用线面的垂直转化出异面直线的夹角，进一步利用解直角三角形得到结论．
（2）利用中位线和线面平行的判定定理直接得到结论．

解答： 证明：（I）因为PD⊥平面ABCD，
所以：PD⊥BC，
因为：AD⊥CD，AD∥BC，
所以：CD⊥CB，又PD⊥BC，PD交CD于D，
所以BC⊥平面PCD，所以BC⊥PC，
设PD=a，则BC=a，
所以：PD=

2

a，PB=

3

a，
所以：cos∠PBC=

3

3

，
所以异面直线PB与AD所成角的余弦值是

3

3

．
（II）取PB中点为F，连接EF，
因为E、F是PC，PB的中点，
所以：EF∥BC，EF=

1

2

BC
所以：四边形AFED为平行四边形，
所以：DE∥AF，DE?平面PAB，AF?平面PAB
所以DE∥平面PAB

点评：本题考查的知识要点：异面直线的夹角的应用及相关的运算问题，线面平行的判定定理，属于基础题型．