Question

12．若直线y=kx+1与双曲线x²-y²=2的左支交于不同的两点，则k的取值范围是（1，$\frac{\sqrt{6}}{2}$）．

Answer 1

分析 根据直线y=kx+1与双曲线x²-y²=1的左支交于不同的两点，可得直线与双曲线联立方程有两个不等的负根，进而构造关于k的不等式组，解不等式可得答案．

解答 解：联立方程直线y=kx+1与双曲线x²-y²=2得
（1-k²）x²-2kx-3=0…①
若直线y=kx+1与双曲线x²-y²=2的左支交于不同的两点，
则方程①有两个不等的负根，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4{k}^{2}+12（1-{k}^{2}）＞0}\\{\frac{2k}{1-{k}^{2}}＜0}\\{\frac{-3}{1-{k}^{2}}＞0}\end{array}\right.$，
解得：k∈（1，$\frac{\sqrt{6}}{2}$）
故答案为：（1，$\frac{\sqrt{6}}{2}$）．

点评 本题考查的知识点圆锥曲线中的范围问题，其中分析出题目的含义是直线与双曲线联立方程有两个不等的负根，是解答的关键．