Question

18．以（1，-1）为中点的抛物线y²=8x的弦所在直线的方程存在吗？若存在，求出直线方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 先设出弦的两端点的坐标然后代入到抛物线方程后两式相减，可求得直线方程的斜率，最后根据直线的点斜式可求得方程．

解答 解：设这样的直线存在，其被抛物线截得弦的两端点分别为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则y_i²=8x₁，y₂²=8x₂  ①…（2分）
①中两式做差，得（y₂+y₁）（y₂-y₁）=8（x₂-x₁），
∴k_AB=-4．…（12分）
得直线方程 y+1=-4（x-1），即4x+y-3=0．②…（14分）
将②与曲线y²=8x联立，
得16x²-32x+9=0，△=（-32）²-4×16×9＞0（必须检验！） …（15分）
∴弦所在直线方程为4x+y-3=0．…（16分）

点评 本题主要考查直线和抛物线的综合问题，考查综合运用能力．