Question

等比数列{c_n}满足的前n项和为S_n，且a_n=log₂c_n．
（I）求a_n，S_n；
（II）数列的前n项和，是否存在正整数m，k（1＜m＜k），使得T₁，T_m，T_k成等比数列？若存在，求出所有m，k的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由已知令n=1，n=2可求，c₁+c₂，c₂+c₃，从而可求公比q，及c₁，结合等比数列的通项公式可求c_n，进而可求a_n，结合等差数列的求和公式可求s_n
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，利用裂项可求T_n，然后结合等比数列的性质可求满足条件的m，k
解答：解：（Ⅰ）由已知令n=1，n=2可得，c₁+c₂=10，c₂+c₃=40，所以公比q=4…（2分）
∴c₁+c₂=c₁+4c₁=10得c₁=2
∴…（4分）
所以…（5分）
由等差数列的求和公式可得，…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
于是…（9分）
假设存在正整数m，k（1＜m＜k），使得T₁，T_m，T_k成等比数列，则，
可得，所以-2m²+4m+1＞0
从而有，，
由m∈N^*，m＞1，得m=2…（11分）
此时k=12．
当且仅当m=2，k=12时，T₁，T_m，T_k成等比数列．…（12分）
点评：本题主要考查了等比数列的性质及等比数列的通项公式的简单应用，数列的裂项求和方法的应用．