Question

在数列{a_n}中，a₁=1，an+1=

1 2 an +n，n为奇数 an-2n，n为偶数

，设b_n=a_2n-2，S_n=|b₁|+|b₂|+…+|b_n|．
（1）求数列{b_n}的通项公式；
（2）若T_n=a₁+a₂+a₃+…+a_2n+a_2n+1，试比较S_n与T_n的大小．

Answer 1

分析：（1）a₂=

1

2

a1+1=1.5，a_2n=

1

2

a2n-1 +2n-1=

1

2

a2n-2+1，由b_n=a_2n-2，能导出{b_n}的通项公式．
（2）由bn=-

1

2 n

，知S_n=|b₁|+|b₂|+…+|b_n|=

1

2

+

1

2 2

+

1

2 3

+…+

1

2 n

=1-

1

2 n

．由a_2n+1=a_2n-2（2n）=a_2n-4n，a_2n+a_2n+1=2a_2n-4n=2（b_n+2）-4n=2b_n-4（n-1），知T_n=a₁+（a₂+a₃）+…+（a_2n+a_2n+1）=1+2b₁+…+[2b_n-4（n-1）]=1+2（b₁+b₂+…+b_n）-4[1+2+…+（n-1）]=

1

2n-1

-1-2n(n-1)．由此能够导出S_n＞T_n．

解答：解：（1）a₂=

1

2

a1+1=1.5，a_2n=

1

2

a2n-1 +2n-1=

1

2

[a2n-2-2(2n-2)]+2n-1=

1

2

a2n-2+1，∵b_n=a_2n-2，
∴b₁=a₂-2=1.5-2=-0.5，
b_n-1=a_2n-2-2，即a_2n-2=c_n-1+2
bn=a2n-2=

1

2

a2n-2+1-2
=

1

2

(bn-1+2)+1-2
=

1

2

bn-1，
所以{b_n}是首项为b₁=-0.5，公比为q=

1

2

的等比数列其通项公式为bn=-0.5•(

1

2

)n-1=-

1

2 n

．
（2）∵bn=-

1

2 n

，
∴S_n=|b₁|+|b₂|+…+|b_n|
=

1

2

+

1

2 2

+

1

2 3

+…+

1

2 n

=

1 2 (1- 1 2 n )

1- 1 2

=1-

1

2 n

．∵a_2n+1=a_2n-2（2n）=a_2n-4n，a_2n+a_2n+1=2a_2n-4n=2（b_n+2）-4n=2b_n-4（n-1），∴T_n=a₁+a₂+a₃+…+a_2n+a_2n+1=a₁+（a₂+a₃）+…+（a_2n+a_2n+1）=1+2b₁+…+[2b_n-4（n-1）]=1+2（b₁+b₂+…+b_n）-4[1+2+…+（n-1）]=1+2×

- 1 2 (1- 1 2 n )

1- 1 2

-2n（n-1）=1+

2

2n

-2-2n（n-1）=

1

2n-1

-1-2n(n-1)．
∴S_n＞T_n．

点评：本题考查数列的综合运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．