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(本小题满分13分)已知圆C:过点A(3,1),且过点P(4,4)的直线PF与圆C相切并和x轴的负半轴相交于点F.

(1)求切线PF的方程;

(2)若抛物线E的焦点为F,顶点在原点,求抛物线E的方程。

(3)若Q为抛物线E上的一个动点,求的取值范围.

 

【答案】

解:(1)点A代入圆C方程,得.∵m<3,∴m=1.圆C:.设直线PF的斜率为k,则PF:

.∵直线PF与圆C相切,∴.解得. 当k=时,直线PF与x轴的交点横坐标为,不合题意,舍去.

当k=时,直线PF与x轴的交点横坐标为-4,∴符合题意,∴直线PF的方程为y=x+2…………………6分

(2)设抛物线标准方程为y2=-2px, ∵F(-4,0), ∴p=8, ∴抛物线标准方程为y2=-16x…………………8分

(3) ,设Q(x,y),

∵y2=-16x, ∴

的取值范围是(-∞,30].…………………13分

【解析】略

 

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