Question

设函数f（x）=x³+ax，g（x）=2x²+b，已知它们的图象在x=1处有相同的切线．
（Ⅰ）求函数f（x）和g（x）的解析式；
（Ⅱ）若函数F（x）=f（x）-m•g（x）在区间[

1

2

，3]上是单调减函数，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（I）欲求函数f（x）和g（x）的解析式利用在点x=1处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率，利用斜率相等列出等式．从而求出a，b．
（Ⅱ）由于F（x）=f（x）-mg（x）=x³+x-2mx²，求出其导数得F'（x）=3x²-4mx+1，原问题等价于3x²-4mx+1≤0在区间[

1

2

，3]上恒成立，最后利用二次函数的图象与性质解决即得．

解答：解：（I）f'（x）=3x²+a，g'（x）=4x

f(1)=g(1) f′(1)=g′(1)

，

1+a=2+b 3+a=4

∴

a=1 b=0

∴f（x）=x³+x，g（x）=2x²

（Ⅱ）∵F（x）=f（x）-mg（x）=x³+x-2mx²
∴F'（x）=3x²-4mx+1若x∈[

1

2

，3]时，F（x）是减函数，
则3x²-4mx+1≤0恒成立，
得

F′( 1 2 )≤0 F′(3)≤0

∴m≥

7

3

．
实数m的取值范围m≥

7

3

．

点评：本小题主要考查函数解析式的求解及待定系数法、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程、利用导数研究函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．