Question

四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面正方形ABCD于A，且PA=AB=a，E、F是侧棱PB、PC的中点，
（1）求证：EF∥平面PAB；
（2）求直线PC与底面ABCD所成角θ的正切值．

Answer 1

分析：（1）由已知中E、F是侧棱PB、PC的中点，底面为正方形ABCD，结合三角形中位线定理及正方形的性质，可得EF∥AB，再根据线面平行的判定定理即可得到EF∥平面PAB；
（2）连接AC，则AC是PC在底面的射影，根据线面夹角的定义，可得∠PCA即为直线PC与底面ABCD所成角，解PCA即可得到答案．

解答：证明：（1）∵E、F是侧棱PB、PC的中点，
∴EF是△PCD的中位线，
∴EF∥CD，又CD∥AB，
∴EF∥AB，
又AB?面PAB，EF?面PAB
∴EF∥面PAB．（7分）
解：（2）连AC，则AC是PC在底面的射影，
∴θ=∠PCA
tanθ=

PA

AC

=

a

2 a

=

2

2

．（15分）

点评：本题考查的知识点是直线与平面所成的角，直线与平面平行的判定，其中（1）的关键是证明出EF∥AB，（2）的关键是判断出PCA即为直线PC与底面ABCD所成角．