Question

19．已知数列{a_n}的前n项和S_n满足条件：S_n+a_n=$\frac{{n}^{2}+1}{{n}^{2}+n}$．
（1）求a₁、a₂、a₃的值；
（2）猜测数列{a_n}的通项公式，并给出证明；
（3）求$\underset{lim}{n→∞}$n²a_n．

Answer 1

分析 （1）直接根据S_n+a_n=$\frac{{n}^{2}+1}{{n}^{2}+n}$求得a₁，a₂，a₃；
（2）观察前三项，猜得a_n=$\frac{1}{n（n+1）}$，再用数学归纳法证明；
（3）将a_n=$\frac{1}{n（n+1）}$代入求极限．

解答 解：（1）根据S_n+a_n=$\frac{{n}^{2}+1}{{n}^{2}+n}$．得S₁+a₁=1，所以，a₁=$\frac{1}{2}$，
所以，a₂=$\frac{1}{6}$，a₃=$\frac{1}{12}$，a₄=$\frac{1}{20}$；
（2）由（1）可以猜测a_n=$\frac{1}{n（n+1）}$，下面用数学归纳法证明，
①当n=1时，左边=S_n+a_n=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$=1，右边=$\frac{{n}^{2}+1}{{n}^{2}+n}$=1，猜测成立；
②假设当n=k（k∈N^*）时猜测成立，即a_k=$\frac{1}{k（k+1）}$，S_k=$\frac{k^2+1}{k^2+k}$-a_k，
则当n=k+1时，S_k+1+a_k+1=S_k+2a_k+1=$\frac{（k+1）^2+1}{（k+1）^2+（k+1）}$，
即2a_k+1=$\frac{（k+1）^2+1}{（k+1）^2+（k+1）}$-$\frac{k^2+1}{k^2+k}$，
解得a_k+1=$\frac{1}{（k+1）（k+2）}$，
所以，n=k+1时，猜测成立，
综合①②得，对全体正整数n都有a_n=$\frac{1}{n（n+1）}$；
（3）因为a_n=$\frac{1}{n（n+1）}$，所以，
$\underset{lim}{n→∞}$（n²•a_n）=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{n^2}{n（n+1）}$=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{n}{n+1}$=1．

点评 本题主要考查了运用归纳推理的方法得出数列的通项公式，再用数学归纳法证明，以及数列极限的解法，属于中档题．