Question

如图，椭圆长轴端点为A，B，O为椭圆中心，F为椭圆的右焦点，且，．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）记椭圆的上顶点为M，直线l交椭圆于P，Q两点，问：是否存在直线l，使点F恰为△PQM的垂心？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解．（1）如图建系，设椭圆方程为，则c=1
又∵即（a+c）•（a-c）=1=a²-c²，∴a²=2
故椭圆方程为
（2）假设存在直线l交椭圆于P，Q两点，且F恰为△PQM的垂心，则
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），∵M（0，1），F（1，0），故k_PQ=1，
于是设直线l为y=x+m，由得3x²+4mx+2m²-2=0
∵又y_i=x_i+m（i=1，2）
得x₁（x₂-1）+（x₂+m）（x₁+m-1）=0即2x₁x₂+（x₁+x₂）（m-1）+m²-m=0由韦达定理得
解得或m=1（舍）经检验符合条件
分析：（1）设出椭圆的方程，根据题意可知c，进而根据求得a，进而利用a和c求得b，则椭圆的方程可得．
（2）假设存在直线l交椭圆于P，Q两点，且F恰为△PQM的垂心，设出P，Q的坐标，利用点M，F的坐标求得直线PQ的斜率，设出直线l的方程，与椭圆方程联立，由韦达定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，进而利用求得m．
点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的关系．考查了学生综合运用基础知识解决问题的能力．