Question

已知向量

a

=（cosx+sinx，2sinx），

b

=（cosx-sinx，-cosx），f（x）=

a

•

b

，
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）当x∈[

π

4

，

3π

4

]时，求f（x）的最小值以及取得最小值时x的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,平面向量数量积的运算

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）先求得f（x）=

2

cos（2x+

π

4

），根据周期公式可得f（x）的最小正周期；
（2）先求得2x+

π

4

∈[

3π

4

，

7π

4

]，由函数的单调性质可得当2x+

π

4

=π即x=

3π

8

时，取到f（x）的最小值-

2

．

解答： 解：f（x）=

a

•

b

=（cosx+sinx）（cosx-sinx）+2sinx（-cosx）
=cos²x-sin²x-2sinxcosx
=cos2x-sin2x
=

2

cos（2x+

π

4

）
（1）T=

2π

2

=π  
（2）x∈[

π

4

，

3π

4

]时，2x+

π

4

∈[

3π

4

，

7π

4

]
∴当2x+

π

4

=

3π

2

即x=

5π

8

时，
取到f（x）的最小值-

2

．

点评：本题主要考察了三角函数中的恒等变换应用，平面向量数量积的运算，三角函数的图象与性质，属于基础题．