Question

在直角梯形ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，BE⊥平面ABCD，AB=BC=BE=2AD=2．
（Ⅰ）求异面直线DE与AC所成角的大小；
（Ⅱ）在线段CE上是否存在点F，使平面BDF⊥平面ADE，若存在，确定点F的位置，若不存在，请说明理由．

Answer 1

由于在直角梯形ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，BE⊥平面ABCD，
则AB，BC，BE两两垂直，
故可以B为原点建立如图所示空间直角坐标系B-xyz．

∵AB=BC=BE=2AD=2，
则B（0，0，0），A（0，2，0），C（2，0，0），D（1，2，0），E（0，0，2）．
（Ⅰ）∵

DE

=(-1，-2，2)，

AC

=(2，-2，0)
∴

DE

•

AC

=(-1)×2+(-2)×(-2)=2，
|

DE

|=

(-1)2+(-2)2+22

=3，
|

AC

|=

22+(-2)2+02

=2

2

∴cos＜

DE

，

AC

＞=

DE • AC

| DE || AC |

=

2

6

故异面直线DE与AC所成角的大小为arccos

2

6

；
（Ⅱ）假设线段CE上存在这样的点F，不妨设F（a，0，2-a）（0≤a≤2）
则

BD

=(1，2，0)，

BF

=(a，0，2-a)

若设平面BDF的法向量为

n

=(x，y，z)
故有

n • BD =0 n • BF =0

，则

x+2y=0 ax+(2-a)z=0

∴平面BDF的一个法向量为

n

=(2，-1，-

2a

2-a

)
∵在平面ADE中，

DE

=(-1，-2，2)，

AD

=(1，0，0)
同理可得平面ADE的一个法向量为

m

=(0，1，1)
由于平面BDF⊥平面ADE，则

m

⊥

n

，
即

m

•

n

=2×0+(-1)×1+(-

2a

2-a

)×1=0
解得a=-2，由于点F在线段CE上，-2∉{a|0≤a≤2}
故在线段CE上不存在点F，使得平面BDF⊥平面ADE．