Question

【题目】已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝3，an+1＝2Sn+3(n∈N*)．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）设bn＝log3an，若数列的前n项和为Tn，证明：Tn＜1．

Answer 1

【答案】（1）；（2）详见解析.

【解析】

（1）由，可得，两式相减得，即，为从第2项开始的等比数列，求得，验证首项是否适合即可得结果；（2）由（1）知，可得，利用裂项相消法求出，再由放缩法可得结果.

（1）因为an+1＝2Sn+3， ①

an＝2Sn-1+3． ②

①-②得an+1-an＝2an，即an+1＝3an(n≥2)，

所以{an}为从第2项开始的等比数列，且公比q＝3，

又a1＝3，所以a2＝9，所以数列{an}的通项公式an＝3n(n≥2)．

当n＝1时，a1＝3满足上式，所以数列{an}的通项公式为an＝3n．

（2）由（1）知bn＝log3an＝log33n＝n，

所以，

所以

得证．