Question

已知函数f（x）=（x²-a+1）e^x．
（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）已知x₁，x₂为f（x）的两个不同极值点，x₁＜x₂，且|x₁+x₂|≥|x₁x₂|-1，若g（x₁）=f（x₁）+（x₁²-2）e^x₁，证明g（x₁）≤．

Answer 1

（1）解：a=2时，f（x）=（x²-1）e^x，f（1）=0，即切点是（1，0）
f'（x）=2xe^x+（x²-1）e^x=（x²+2x-1）e^x，
∴k=f'（1）=2e，即切线斜率k=2e
所以，由点斜式可写出切线方程为：y=2e（x-1），即2ex-y-2e=0
（2）证明：令f′（x）=（x²+2x-a+1）e^x=0，
∵x₁，x₂为f（x）的两个不同极值点
∴x₁+x₂=-2，x₁x₂=-a+1
因为|x₁+x₂|≥|x₁x₂|-1，所以2≥|-a+1|-1，所以-2≤a≤4．
又由△＞0得a＞0，所以0＜a≤4，
又由f′（x）=（x²+2x-a+1）e^x=0，x₁＜x₂，解得x₁=-1-
因为0＜a≤4，所以x₁=-1-∈[-3，-1）
g（x₁）=f（x₁）+（x₁²-2）e^x1=（2x₁²-a-1）e^x1，
又因为x₁=-1-，所以a=x₁²+2x₁+1，所以g（x₁）=（x₁²-2x₁-2）e^x1，所以g′（x₁）=（x₁²-4）e^x₁，
令g′（x₁）=（x₁²-4）e^x₁=0得x₁=-2或2，
在区间[-3，-1）上，g（x₁），g′（x₁）变化状态如下表：

x1	-3	（-3，-2）	-2	（-2，-1）
g（x1）		+	0	-
g′（x1）		增	极大值	减

所以当x₁=-2时，g（x₁）取得最大值，所以g（x₁）≤．
分析：（1）确定切点，求导函数，确定切线斜率，即可得到切线方程；
（2）先确定0＜a≤4，再求得g（x₁）=（x₁²-2x₁-2）e^x1，利用导数确定g（x₁）的单调性求得最大值，即可证得结论．
点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的最值，考查不等式的证明，综合性强．