Question

2009年初国务院公布1.6升及以下的小排量乘用车购置税率由10%降为5%的政策后，使得1.6升及以下减税受益车型也日渐“受宠”，小张计划购买一辆1.6升及以下小型汽车．根据小型汽车车牌可以采取“自编自选”方式进行选号的规定，小张计划从1到5这5个数字中确定自己车牌号码的后四位数字，记ξ为四位数字中各位上出现重复数字的个数．
（理）（1）求ξ≥3的概率；
（2）求ξ的分布到与数学期望．
（文）（1）求车牌号码的最后一位是奇数的概率；
（2）求ξ≥3的概率．

Answer 1

分析：（理）（1）求ξ≥3分两类，ξ=3和ξ=4，分别表示4位数中有重复数字的个数为3或4，其取法种数有C₄³A₅¹A₄¹+1，
而总的取法种数有5⁴种，利用古典概型求概率即可．
（2）ξ的所有取值为0，2，3，4，利用古典概型分别求概率，列出分布列，再根据期望的定义求期望即可．
（文）（1）车牌号码的最后一位是奇数的概率只需考虑最后一位，从1到5这5个数字中取到奇数的概率为

3

5

（2）同（理）（1）

解答：解：（理）（1）由题知车牌号码最后四位数字所有可能情况为5⁴种，ξ≥3的取法种数有C₃⁴A₁⁵A₁⁴，
所以P（ξ≥3）=

C 3 4 A 1 5 A 1 4 +1

54

=

17

125

（2）ξ的所有取值为0，2，3，4
P（ξ=0）=

A 4 5

54

=

24

125

，
P（ξ=2）=1-P（ξ=0）+P（ξ=3）+P（ξ=4）=

84

25

P（ξ=3）=

C 4 3 A 5 1 A 4 1

54

=

16

125

P（ξ=4）=

1

54

=

1

125

ξ的分布列为
Eξ=

44

25

（文）（1）车牌号码的最后一位是奇数的概率只需考虑最后一位，从1到5这5个数字中取到奇数的概率为

3

5

（2）由题知车牌号码最后四位数字所有可能情况为5⁴种，ξ≥3的取法种数有C₃⁴A₁⁵A₁⁴，
所以P（ξ≥3）=

C 3 4 A 1 5 A 1 4 +1

54

=

17

125

点评：本题考查随机事件的概率、古典概型、离散型随机变量的分布列、期望等知识，及利用所学知识解决问题的能力．