Question

设动点M（x，y）（x≥0）到定点F（1，0）的距离比它到y轴的距离大1．记点 M的轨迹为曲线C，P是满足

OP

+λ

OF

=

0

（O为直角坐标系的原点）的点，过点 P作直线 l交曲线 C于A、B两点．
（Ⅰ）当λ为何值时，以 AB为直径的圆经过点 O？
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求过O、A、B三点的圆面积最小时圆的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先由抛物线的定义求出曲线C的方程是y²=4x，根据P是满足

OP

+λ

OF

=

0

得到P点坐标，将“以 AB为直径的圆经过点 O”转化为向量的数量积为0，结合要根与系数的关系即可求得λ值．
（Ⅱ）利用（I）中得到的关于x的二次方程，表示出圆的直径，再利用求函数最值的方法求出直径的最小值即得．

解答：解：（Ⅰ）依题意知，动点M到定点F（1，0）的距离等于M到直线x=-1的距离，
曲线C是以原点为顶点，F（1，0）为焦点的抛物线．
∴曲线C的方程是y²=4x．（2分）
∵

OP

+λ

OF

=

0

，∴P（-λ，0）．
设直线AB：x=ty-λ，代入y²=4x，得y²-4ty+4λ=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y₁+y₂=4t，y₁y₂=4λ．
以AB为直径的圆经过直角坐标系的原点O，
则OA⊥OB，

OA

•

OB

=0.x1x2+y1y2=

y 2 1 • y 2 2

4×4

+y1y2=0
∴y₁y₂=-16∴4λ=-16
∴λ=-4．（7分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）y₁+y₂=4t，y₁y₂=-16.|AB|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

(1+t2)(y1-y2)2

=

(1+t2)[(y1+y2)2-4y1y2]

=

(1+t2)[(4t)2+64]

=4

(1+t2)(4+t2)

=4

t4+5t2+4

当t=0时，|AB|有最小值8，此时圆的面积最小．其方程为（x-4）²+y²=16．（12分）

点评：本题主要考查了圆的标准方程、直线与圆锥曲线的综合问题．直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等．