Question

已知抛物线C的方程为x²=4y．设动点E（a，-2 ），其中a∈R，过点E分别作抛物线C的两条切线EA，EB，切点为A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）．
（1）求证：A，E，B三点的横坐标依次成等差数列；
（2）求直线AB经过的定点坐标．

Answer 1

分析：（1）通过导数求出过A，E的切线方程，利用韦达定理说明A，E，B三点的横坐标依次成等差数列；
（2）求出AB的中点坐标，推出AB的方程，利用直线系求直线AB经过的定点坐标．

解答：解：（1）∵x²=4y．∴y=

x2

4

∴y′=

1

2

x，
过点A的抛物线切线方程为：y=

x 2 1

4

=

1

2

x₁（x-x₁），因为切点过E点，
∴-2-

x 2 1

4

=

1

2

x₁（a-x₁），整理得x₁²-2ax₁-8=0，
同理可得x₂²-2ax₂-8=0，
x₁，x₂是方程x²-2ax-8=0的两个根，x₁+x₂=2a，x₁•x₂=-8．
A，E，B三点的横坐标依次成等差数列；
（2）可得AB的中点为（a，

a2+4

2

），
KAB=

y1-y2

x1-x2

=

x 2 1 4 - x 2 2 4

x1- x2

=

x1-x2

4

=

a

2

，
∴直线AB的方程为y-(

a2

2

+2) =

a

2

(x-a)，
即y =

a

2

x+2∴AB过定点（1，2）．

点评：本题是中档题，考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查导数的应用，直线过定点的问题，考查计算能力．