Question

13．如图1，已知长方形ABCD中，AB=2，AD=1，E为DC的中点．将△ADE沿AE折起，使得平面ADE⊥平面ABCE．
（1）求证：平面BDE⊥平面ADE
（2）求三棱锥 C-BDE的体积

Answer 1

分析 （1）连接BE，推民出BE⊥AE，从而BE⊥平面ADE，由此能证明平面BDE⊥平面ADE．
（2）取AE中点F，连结DF，由V_C-BED=V_D-BCE，能求出三棱锥C-BDE的体积．

解答 （本小题12分）
证明：（1）连接BE，∵长方形ABCD中，AB=2，AD=1，
E为DC的中点，DE=1，∴AE=BE=$\sqrt{2}$
∴AE²+BE²=2=AB²，∴BE⊥AE．…（3分）
∵平面ADE⊥平面ABCE，平面ADE∩平面ABCE=AE，BE?平面ABCE
∴BE⊥平面ADE，又∵BE?平面BDE，
∴平面BDE⊥平面ADE．…（6分）
解：（2）取AE中点F，连结DF，
∵AD=DE，∴DF⊥AE，
又∵平面ADE⊥平面ABCE，且交线为AE，DF?平面ADE，
∴DF⊥平面BCE…（9分）
在Rt△ADE中，AD=DE=1，AE=$\sqrt{2}$，∴DF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴${V_{D-BCE}}=\frac{1}{3}{S_{△BCE}}•DF=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}EC•BC•DF=\frac{{\sqrt{2}}}{12}$…（11分）
又∵V_C-BED=V_D-BCE，
∴三棱锥C-BDE的体积${V_{C-EBD}}=\frac{{\sqrt{2}}}{12}$…（12分）

点评 本题考查面面垂直的证明，考查三棱锥体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．