Question

如图，棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，AC∩BD=O，侧棱AA₁⊥BD，AA₁=4，棱AA₁与底面所成的角为60°，点F为DC₁的中点．
（I）证明：OF∥平面BCC₁B₁；
（II）求三棱锥C₁-BCD的体积．

Answer 1

解：（I）∵四边形ABCD为菱形，AC∩BD=O，
∴O是BD的中点…（2分）
又∵点F为C₁D的中点，
∴OF是△DBC₁的中位线，得OF∥BC₁，…（4分）
∵OF?平面BCC₁B₁，BC₁⊆平面BCC₁B₁，
∴OF∥平面BCC₁B₁；…（6分）
（II）∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，
又∵BD⊥AA₁，AA₁∩AC=A，BD⊥平面ACC₁A₁，
∵BD?平面ABCD，
∴平面ABCD⊥平面ACC₁A₁，…（8分）
在平面ACC₁A₁内过A₁作A₁M⊥AC于M，则A₁M⊥平面ABCD，
∴AM是直线AA₁在平面ABCD内的射影，∠A₁AM=60°…（10分）
在Rt△AA₁M中，A₁M=AA₁•sin60°=2，
∴三棱锥C₁-BCD的底面BCD上的高为2，
又∵S_△BCD=BC•CD•sin60°=，
∴三棱锥C₁-BCD的体积V=×S_△BCD×A₁M=××2=2．…（12分）
分析：（I）△DBC₁中利用中位线定理，得OF∥BC₁，结合线面平行的判定定理，可得OF∥平面BCC₁B₁；
（II）由BD与A₁A、AC两条相交直线垂直，可得BD⊥平面ACC₁A₁，从而平面ABCD⊥平面ACC₁A₁．过A₁作A₁M⊥AC于M，得到A₁M⊥平面ABCD，且∠A₁AM是AA₁与底面所成的角．在Rt△AA₁M中，算出A₁M的长，再用正弦定理算出△BCD的面积，最后用锥体体积公式，可得三棱锥C₁-BCD的体积．
点评：本题给出底面为菱形，且侧棱垂直于一条对角线的四棱柱，求证线面平行并且求锥体体积，着重考查了线面平行的判定、面面垂直的判定与性质和锥体体积公式等知识，属于中档题．