Question

正方形AA₁D₁D与矩形ABCD所在平面互相垂直，AB=2AD=2，点E为AB的中点．
（I）求证：BD₁∥平面A₁DE；
（II）求二面角D₁-A₁E-D的大小；
（III）求多面体A₁D₁DBE的体积．

Answer 1

（I）证明：连接AD₁交A₁D于F，则F为中点，
连接EF，如图．
∵E为中点，∴EF∥BD₁．
又EF?面A₁DE，BD₁?面A₁DE，
∴BD₁∥面A₁DE
（II）解：由面ABCD⊥面ADD₁A₁，且四边形ADD₁A₁为正方形，四边形ABCD为矩形，得D₁D⊥AD，D₁D⊥DC，DC⊥DA．于是以D为原点，DA，DC，DD₁分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
∴D（0，0，0）、D₁（0，0，1）、A₁（1，0，1）、E（1，1，0），
∴、、、．
设面A₁DE的一个法向量为=（x₁，y₁，1），面D₁A₁E的一个法向量为=（x₂，y₂，1），
则，，即，
解得：=（-1，1，1），=（0，1，1）．
设D₁-A₁E-D的大小为θ，于是cosθ==，
∴θ=arccos，即二面角D₁-A₁E-D的大小为arccos．
（III）解：多面体A₁D₁DBE的体积==-
==．
分析：（I）证明BD₁∥面A₁DE，利用线面平行的判定定理，连接AD₁交A₁D于F，，利用三角形的中位线的性质，证明EF∥BD₁即可；
（II）建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，求出面A₁DE的一个法向量、面D₁A₁E的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求解；
（III）利用分割法，多面体A₁D₁DBE的体积=，由此可求体积．
点评：本题考查线面平行，考查面面角，考查多面体体积的计算，考查利用向量知识解决立体几何问题，属于中档题．