Question

已知抛物线y=

1

4

x²，过点P（0，2）作直功l，交抛物线于A、B两点，O为坐标原点．
（Ⅰ）求证：

OA

•

OB

为定值；
（Ⅱ）求三角形AOB面积的最小值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由抛物线的方程与直线l的方程y=kx+2联立，得出根与系数的关系，再利用数量积

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂即可证明；
（2）根据S_△OAB=S_△OAP+S_△OBP，表示出面积S_△OAB的解析式，从而求出最小值．

解答： 解：如图所示，
（1）证明：抛物线方程可化为x²=4y，焦点为F（0，1），
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
直线l的方程为：y=kx+2；
∴

x2=4y y=kx+2

，
化为x²-4kx-8=0，
∴x₁+x₂=4k，x₁x₂=-8；
∴y₁y₂=（kx₁+2）（kx₂+2）=k²x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4=-8k²+8k²+4=4，
∴

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=-8+4=-4；
（2）由（1）知，x₁+x₂=4k，x₁x₂=-8；
∴S_△OAB=S_△OAP+S_△OBP
=

1

2

|OP|•|x₁|+

1

2

|OP|•|x₂|
=

1

2

|OP|•|x₂-x₁|
=

1

2

×2

(4k)2-4×(-8)

，
∴当k=0时，△OAB面积最小，最小值为4

2

．

点评：本题考查了直线与抛物线的相交问题，解题时应利用方程组联立，结合根与系数的关系式，三角形的面积计算公式等基础知识，进行解答，是难题．