Question

根据下列条件，求圆的方程：
（1）经过A（6，5）、B（0，1）两点，并且圆心在直线3x+10y+9=0上；
（2）经过P（-2，4）、Q（3，-1）两点，并且在x轴上截得的弦长等于6．

Answer 1

分析：（1）求出AB的中垂线方程，联立方程组，即可求出圆心坐标，利用两点间距离公式求出半径，从而得到所求的圆的方程．
（2）求出线段PQ的垂直平分线为y=x+1，设圆心C的坐标为（a，a+1），求出半径r的表达式，利用圆心C到x轴的距离为d=|a+1|，由题意得3²+d²=r²，解得a，求出圆的方程即可．

解答：解：（1）∵AB的中垂线方程为：3x+2y-15=0，由

3x+2y-15=0 3x+10y+9=0

，解得

x=7 y=-3

，
圆心坐标为C（7，-3），BC=

65

故所求的圆的方程为 （x-7）²+（y+3）²=65．
（2）因为线段PQ的垂直平分线为y=x+1，
所以设圆心C的坐标为（a，a+1），
半径r=|PC|=

(a+2)2+(a-3)2

=

2a2-2a+13

，圆心C到x轴的距离为d=|a+1|，
由题意得3²+d²=r²，即3²+（a+1）²=2a²-2a+13，
整理得a²-4a+3=0，解得a=1或a=3．
当a=1时，圆的方程为（x-1）²+（y-2）²=13； 
当a=3时，圆的方程为（x-3）²+（y-4）²=25．
综上得，所求的圆的方程为（x-1）²+（y-2）²=13或（x-3）²+（y-4）²=25．

点评：本题是中档题，考查圆的方程的求法，注意圆心到弦的距离与半径，弦长的关系的应用，考查计算能力，转化思想．