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    【题目】已知{e1,e2,e3}是空间的一个基底,且=e1+2e2-e3,=-3e1+e2+2e3,=e1+e2-e3,试判断{}能否作为空间的一个基底?若能,试以此基底表示向量=2e1-e2+3e3;若不能,请说明理由.

    【答案】能，=17-5-30。

    【解析】

    (1)假设共面,则=x+y成立，

    解方程组得方程组没有解，所以不共面,所以能作为空间的一个基底.(2) 设=p+q+z,解方程组求出p,q,z得解.

    能作为空间的一组基底。

    假设共面,由向量共面的充要条件知存在实数x,y使=x+y成立

    又因为是空间的一个基底,

    所以不共面.

    因此此方程组无解,

    即不存在实数x,y使=x+y,

    所以不共面.

    故{}能作为空间的一个基底.

    设=p+q+z,

    则有

    因为为空间的一个基底,

    所以解得

    故=17-5-30.

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