Question

已知函数f(x)=2sinxcosx-2

3

cos2x+

3

．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和对称中心；
（Ⅱ）求f（x）的单调递减区间；
（Ⅲ）当x∈[

π

2

，π]时，求函数f（x）的最大值及取得最大值时x的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用二倍角公式、辅助角公式化简函数，即可求f（x）的最小正周期和对称中心；
（Ⅱ）由2x-

π

3

∈[2kπ+

π

2

，2kπ+

3π

2

]，可求f（x）的单调递减区间；
（Ⅲ）当x∈[

π

2

，π]时，2x-

π

3

∈[

2π

3

，

5π

3

]，从而可求函数f（x）的最大值及取得最大值时x的值．

解答：解：（Ⅰ）f(x)=2sinxcosx-2

3

cos2x+

3

=sin2x-

3

cos2x=2sin（2x-

π

3

），
∴f（x）的最小正周期为

2π

2

=π；
由2x-

π

3

=kπ，可得x=

kπ

2

+

π

6

，
∴函数的对称中心为（

kπ

2

+

π

6

，0）（k∈Z）；
（Ⅱ）由2x-

π

3

∈[2kπ+

π

2

，2kπ+

3π

2

]，可得x∈[kπ+

5π

12

，kπ+

11π

12

]，
∴f（x）的单调递减区间为[kπ+

5π

12

，kπ+

11π

12

]（k∈Z）；
（Ⅲ）当x∈[

π

2

，π]时，2x-

π

3

∈[

2π

3

，

5π

3

]，
∴2x-

π

3

=

2π

3

，即x=

π

2

时，函数f（x）取得最大值，最大值为

3

2

．

点评：本题考查三角函数的化简，考查三角函数的性质，正确化简函数，利用三角函数的性质是关键．