Question

（理科做）如图，点P为椭圆

x2

9

+

y2

5

=1上的动点，A为椭圆左顶点，F为右焦点．
（1）若∠AFP=60°，求PF所在直线被椭圆所截得的弦长|PQ|；
（2）若点M在线段PF上，且满足

FM

+

1

2

PM

=

0

，求点M的轨迹方程．

Answer 1

分析：由题意可得，A（-3，0），F（2，0）
（1）由∠AFP=60°可知直线PF的倾斜角为60°或120°即直线PF的斜率，求出直线PF的方程，设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），联立直线与椭圆，根据方程的根与系数关系可求x₁+x₂，x₁x₂，代入公式|PQ|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

4(x1-x2)2

=2

(x1+x2)2-4x1x2

（2）设M（x，y），P（m，n），由

FM

+

1

2

PM

=

0

，可得M，N的坐标关系，结合

m2

9

+

n2

5

=1，可求点M的轨迹方程

解答：解：由题意可得，c²=9-5=4即c=2
∴A（-3，0），F（2，0）
（1）由∠AFP=60°可知直线PF的倾斜角为60°或120°即直线PF的斜率为

3

或-

3

以k=

3

为例，则直线PF的方程为y=

3

(x-2)，设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
联立方程

y= 3 (x-2) x2 9 + y2 5 =1

可得32x²+108x+63=0
∴x1+x2=-

27

8

，x1x2=

63

32

∴|PQ|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

4(x1-x2)2

=2

(x1+x2)2-4x1x2

=2

729 64 -4× 63 32

=

15

4

根据对称性可知，k=-

3

时|PQ|=

15

4

（2）设M（x，y），P（m，n），则

m2

9

+

n2

5

=1，
∴

FM

=(x-2，y)，

PM

=(x-m，y-n)
∵

FM

+

1

2

PM

=

0

∴(x-2，y)+(

x-m

2

，

y-n

2

)=0
∴

3x-4= m 3y= n

代入到方程

m2

9

+

n2

5

=1，可得

(3x-4)2

9

+

9y2

5

=1
∴点M的轨迹方程

(3x-4)2

9

+

9y2

5

=1

点评：本题主要考查了椭圆的性质的应用，直线与椭圆相交关系的应用，弦长公式的应用及利用相关点法求解点的轨迹方程，属于综合性试题