分析 (1)令x=0,得y的值,令y=0,得x的值,又已知直线l在x轴,y轴上的截距之和,列出方程,求解方程即可得实数m的值;
(2)方法一:由(1)得A,B点的坐标,又已知直线l与x轴,y轴的正半轴分别交于A,B两点,则可得不等式组,求解得m>0,再由三角形的面积公式结合基本不等式即可求得m的值,则直线l的方程可求.
方法二:由x+my-2m-1=0,得(x-1)+m(y-2)=0,列出方程组,求解即可得x,y的值,求出直线l过定点P(1,2),再设A(a,0),B(0,b)(a>0,b>0),则直线l的方程为:$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1(a>0,b>0)$,把点P(1,2)代入直线方程,得$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}=1$,由基本不等式得$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}≥2\sqrt{\frac{2}{ab}}$,ab≥8,则可求出当△AOB面积最小时,直线l的方程.
解答 解:(1)令x=0,得$y=2+\frac{1}{m}$.
令y=0,得x=2m+1.
由题意知,$2m+1+2+\frac{1}{m}=6$.
即2m2-3m+1=0,
解得$m=\frac{1}{2}$或m=1;
(2)方法一:
由(1)得 $A(2m+1,0),B(0,2+\frac{1}{m})$,
由$\left\{\begin{array}{l}2m+1>0\\ 2+\frac{1}{m}>0.\end{array}\right.$解得m>0.
${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}|{AO}|•|{BO}|$=$\frac{1}{2}|{2m+1}|•|{2+\frac{1}{m}}|=\frac{1}{2}(2m+1)(2+\frac{1}{m})$
=$(m+\frac{1}{2})(2+\frac{1}{m})$=$2+2m+\frac{1}{2m}≥2+2=4$.
当且仅当$2m=\frac{1}{2m}$,即$m=\frac{1}{2}$时,取等号.
此时直线l的方程为2x+y-4=0.
方法二:
由x+my-2m-1=0,得(x-1)+m(y-2)=0.
∴$\left\{\begin{array}{l}x-1=0\\ y-2=0\end{array}\right.$,解得$\left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=2\end{array}\right.$.
∴直线l过定点P(1,2).
设A(a,0),B(0,b)(a>0,b>0),
则直线l的方程为:$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1(a>0,b>0)$.
将点(1,2)代入直线方程,得$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}=1$,
由基本不等式得$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}≥2\sqrt{\frac{2}{ab}}$,ab≥8.
当且仅当$\frac{1}{a}=\frac{2}{b}$,即a=2,b=4时,取等号.
∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}ab≥4$,
当△AOB面积最小时,直线l的方程为2x+y-4=0.
点评 本题考查了直线的一般式方程,考查了基本不等式的运用,是中档题.
科目:高中数学 来源: 题型:填空题
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科目:高中数学 来源: 题型:填空题
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | (2,6) | B. | (-∞,-1)∪(2,6] | C. | (-2,-1)∪(2,6] | D. | (3,6] |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | (0,$\frac{1}{5}$) | B. | (0,$\frac{1}{3}$) | C. | ($\frac{1}{5}$,$\frac{1}{3}$) | D. | ($\frac{1}{3}$,1) |
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