【题目】在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知b+c=2acosB. (Ⅰ)证明:A=2B
(Ⅱ)若△ABC的面积S= ,求角A的大小.
【答案】(Ⅰ)证明:∵b+c=2acosB, ∴sinB+sinC=2sinAcosB,
∴sinB+sin(A+B)=2sinAcosB
∴sinB+sinAcosB+cosAsinB=2sinAcosB
∴sinB=sinAcosB﹣cosAsinB=sin(A﹣B)
∵A,B是三角形中的角,
∴B=A﹣B,
∴A=2B;
(Ⅱ)解:∵△ABC的面积S= ,
∴ bcsinA= ,
∴2bcsinA=a2 ,
∴2sinBsinC=sinA=sin2B,
∴sinC=cosB,
∴B+C=90°,或C=B+90°,
∴A=90°或A=45°
【解析】(Ⅰ)利用正弦定理,结合和角的正弦公式,即可证明A=2B(Ⅱ)若△ABC的面积S= ,则 bcsinA= ,结合正弦定理、二倍角公式,即可求角A的大小.
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【题目】观察下列等式: (sin )﹣2+(sin )﹣2= ×1×2;
(sin )﹣2+(sin )﹣2+(sin )﹣2+sin( )﹣2= ×2×3;
(sin )﹣2+(sin )﹣2+(sin )﹣2+…+sin( )﹣2= ×3×4;
(sin )﹣2+(sin )﹣2+(sin )﹣2+…+sin( )﹣2= ×4×5;
…
照此规律,
(sin )﹣2+(sin )﹣2+(sin )﹣2+…+(sin )﹣2= .
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【题目】在等比数列{an}中,a1=2,a3 , a2+a4 , a5成等差数列.
(1)求数列{an}的通项公式
(2)若数列{bn}满足b1+ +…+ =an(n∈N*),{bn}的前n项和为Sn , 求使Sn﹣nan+6≥0成立的正整数n的最大值.
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【题目】已知数列{an}的前n项和为Sn , 且Sn= nan+1 , 其中a1=1
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若bn= + ,数列{bn}的前n项和为Tn , 求证:Tn<2n+ .
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【题目】已知{an}是公差为3的等差数列,数列{bn}满足b1=1,b2= ,anbn+1+bn+1=nbn . (Ⅰ)求{an}的通项公式;
(Ⅱ)求{bn}的前n项和.
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【题目】某种放射性元素的原子数N随时间t的变化规律是N=N0e﹣λt , 其中e=2.71828…为自然对数的底数,N0 , λ是正的常数
(Ⅰ)当N0=e3 , λ= , t=4时,求lnN的值
(Ⅱ)把t表示原子数N的函数;并求当N= , λ=时,t的值(结果保留整数)
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【题目】若函数f(x)=3sin(2x﹣ )的图象为C,则下列结论中正确的序号是 . ①图象C关于直线x= 对称;
②图象C关于点( ,0)对称;
③函数f(x)在区间(﹣ , )内不是单调的函数;
④由y=3sin2x的图象向右平移 个单位长度可以得到图象C.
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【题目】综合题。
(1)已知圆C的圆心是x﹣y+1=0与x轴的交点,且与直线x+y+3=0相切,求圆C的标准方程;
(2)若点P(x,y)在圆x2+y2﹣4y+3=0上,求 的最大值.
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