Question

如图，已知圆G：，定点，M为圆上一动点，P点在TM上，N点在GM上，且满足，点N的轨迹为曲线E．
（Ⅰ）求曲线 E的方程；
（Ⅱ）设曲线E交直线l：y=k（x+1）于A、B两点，与x轴交于点C，若，若△ABO的面积是，求a值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由=0可得|NM|=|NT|，∴|NG|+|NT|=|NG|+|NM|=|GM|=2a＞|GT|=2a，再根据椭圆的定义可得曲线E的方程．
（Ⅱ）联立直线与椭圆的方程再结合根与系数的关系可得：y₁+y₂=，y₁y₂=，再结合可得y₁=-2y₂，即可求出y2，再利用其表示出三角形的面积，进而求出k的取值，即可得到a的取值．
解答：解：（Ⅰ）∵=0，
∴|NM|=|NT|，
∴|NG|+|NT|=|NG|+|NM|=|GM|=2a＞|GT|=2a …2分
∴N 的轨迹是以G（-a，0）为焦点的椭圆，且长轴长为2a，
∴短轴长为，
所以E的方程为：x²+3y²=a²．…4分
（Ⅱ）由=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
所以由根与系数的关系可得：y₁+y₂= …①，y₁y₂= …②…6分
∵，
∴y₁=-2y₂ …③
 由①③解得：y₂=- …④…8分
所以S_△= …11分
将k=± 代入②③④解得：a=±
满足△＞0 …12分
点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合题，解题的关键是掌握圆锥曲线的定义，由题设条件判断出所求的轨迹是椭圆，以及能将向量的数量积转化为两个点的坐标关系，以利于用直线与圆锥曲线的方程研究参数的取值，本题综合性强运算较繁杂，做题时要严谨认真．