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14.已知|$\overrightarrow{a}$|=4,|$\overrightarrow{b}$|=2,且$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$夹角为120°求:
(1)($\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}$)•($\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$)
(2)|2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|
(3)$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$的夹角.

分析 根据已知首先求出向量的数量积,(1)展开用向量的平方和数量积表示,代入数值计算;
(2)先求其平方,展开,利用向量的平方和数量积计算数值,然后开方求模;
(3)设$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$的夹角为θ,利用数量积公式得到cosθ的值,从而求向量的夹角.

解答 解:由题意可得|$\overrightarrow{a}$|2=16,|$\overrightarrow{b}$|2=4,且$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow{b}$|cos120°=-4,
(1))($\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}$)•($\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$)=${\overrightarrow{a}}^{2}-2{\overrightarrow{b}}^{2}-\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=16-8+4=12;
(2)|2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|2=4${\overrightarrow{a}}^{2}-4\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^{2}$=64+16+4=84,所以|2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=2$\sqrt{21}$;
(3)设$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$的夹角为θ,则cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|}$=$\frac{{\overrightarrow{a}}^{2}+\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{4×\sqrt{16-8+4}}=\frac{16-4}{4×2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$,又0°≤θ≤180°,所以θ=30°,$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$的夹角为30°.

点评 本题考查了平面向量的数量积运算、模的求法向量的夹角求法;关键是熟练掌握数量积公式,灵活运用.

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