Question

14．已知|$\overrightarrow{a}$|=4，|$\overrightarrow{b}$|=2，且$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$夹角为120°求：
（1）（$\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}$）•（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）
（2）|2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|
（3）$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$的夹角．

Answer 1

分析 根据已知首先求出向量的数量积，（1）展开用向量的平方和数量积表示，代入数值计算；
（2）先求其平方，展开，利用向量的平方和数量积计算数值，然后开方求模；
（3）设$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$的夹角为θ，利用数量积公式得到cosθ的值，从而求向量的夹角．

解答 解：由题意可得|$\overrightarrow{a}$|²=16，|$\overrightarrow{b}$|²=4，且$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow{b}$|cos120°=-4，
（1））（$\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}$）•（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）=${\overrightarrow{a}}^{2}-2{\overrightarrow{b}}^{2}-\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=16-8+4=12；
（2）|2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|²=4${\overrightarrow{a}}^{2}-4\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^{2}$=64+16+4=84，所以|2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=2$\sqrt{21}$；
（3）设$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$的夹角为θ，则cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|}$=$\frac{{\overrightarrow{a}}^{2}+\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{4×\sqrt{16-8+4}}=\frac{16-4}{4×2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，又0°≤θ≤180°，所以θ=30°，$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$的夹角为30°．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算、模的求法向量的夹角求法；关键是熟练掌握数量积公式，灵活运用．